事故の時に車に積んでいた荷物の損害も請求できるのか

できます。荷物が壊れたり価値がなくなったりした場合の補償額はその荷物の「時価」になります。
時価というと「販売価格」と「卸売り価格」がありますが、一般的にその荷物を再入手するのに必要な金額のことです。

ただ、他の被害に比べると金額があまり大きくならないため、裁判に発展するケースはあまりないようです。

ですがここで過去最高額の積荷の賠償事例をご紹介。

賠償額:2億6135万円

服を輸送中のトラックが事故後に炎上。積荷が全部燃えてしまったんですが、その服が着物や毛皮などの高級品だったためにこの金額になったそうです。

恐いですね・・・
自賠責保険では物損は補償されないので、ちゃんと任意保険に入りましょう。